Archívy kategórie: Pre učiteľov

Aktuality,Funkcionálna analýza,Matematická analýza III,Matematická analýza IV,Pre študentov,Pre učiteľov

Učíme sa písať matematické výrazy (2)

28. 08. 2012 prof Komentovať

Vyskúšajte si online editor rovníc.
Pripravil som jednoduchý návod.
Editor rovníc nájdete na stránke http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php.

Funkcionálna analýza,Pre študentov,Pre učiteľov

Obor hodnôt

25. 04. 2012 prof Komentovať

Úloha. Aké hodnoty môže nadobúdať výraz

$a\cos t-b\sin t,$

$a$ ,

$b$ sú kladné konštanty a

$t$ je ľubovoľné reálne číslo?
Riešenie. Stačí si uvedomiť, že existuje taký uhol

$\varphi$ , že platí

$a\cos t-b\sin t=c\cos(t+\varphi),$

kde

$c$ je vhodná konštanta. Naozaj,

$c\cos(t+\varphi)=c\cos t\cos\varphi-c\sin t\sin\varphi,$

odkiaľ

$a=c\cos\varphi$ a

$b=c\sin\varphi$ . Potom

$\frac{b}{a}=\tan\varphi.$

Nakreslite si pravouhlý trojuholník, ktorého odvesny majú dĺžky

$a$ a

$b$ . Potom prepona tohto trojuholníka má dĺžku

$c=\sqrt{a^2+b^2}$ . Pretože kosínus môže nadobúdať ľubovoľnú hodnotu z intervalu

$\langle-1,1\rangle$ , výraz

$a\cos t-b\sin t=c\cos(t+\varphi)$

môže nadobúdať ľubovoľnú hodnotu z intervalu

$\langle-c,c\rangle$ .

Pre učiteľov

Súčet radu: príklad

18. 04. 2012 prof Komentovať

The William Lowell Putnam Mathematical Competition 1988
Problem B-4. Dokážte, že ak $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ je konvergentný číselný rad s kladnými členmi, potom aj rad $\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n)^{n/(n+1)}$ je konvergentný.
Riešenie: Využijeme nerovnosť medzi aritmetickým a geometrickým priemerom.
\begin{align}
a_n^{\frac{n}{n+1}}&=\sqrt[n+1]{\frac1{n+3}\cdot(n+3)a_n\cdot a_n^{n-1}}\leq\\ &\leq\frac{\frac1{n+3}+(n+3)a_n+(n-1)a_n}{n+1}=\\ &=\frac1{(n+1)(n+3)}+2a_n.
\end{align}
Pozrite si aj ďalšie riešenia.