Úloha. Aké hodnoty môže nadobúdať výraz

$$a\cos t-b\sin t,$$

ak $a$, $b$ sú kladné konštanty a $t$ je ľubovoľné reálne číslo?
Riešenie. Stačí si uvedomiť, že existuje taký uhol $\varphi$, že platí

$$a\cos t-b\sin t=c\cos(t+\varphi),$$

kde $c$ je vhodná konštanta. Naozaj,

$$c\cos(t+\varphi)=c\cos t\cos\varphi-c\sin t\sin\varphi,$$

odkiaľ $a=c\cos\varphi$ a $b=c\sin\varphi$. Potom

$$\frac{b}{a}=\tan\varphi.$$

Nakreslite si pravouhlý trojuholník, ktorého odvesny majú dĺžky $a$ a $b$. Potom prepona tohto trojuholníka má dĺžku $c=\sqrt{a^2+b^2}$. Pretože kosínus môže nadobúdať ľubovoľnú hodnotu z intervalu $\langle-1,1\rangle$, výraz

$$a\cos t-b\sin t=c\cos(t+\varphi)$$

môže nadobúdať ľubovoľnú hodnotu z intervalu $\langle-c,c\rangle$.