Úloha. Vypočítajte operátorovú normu matice $A=\left(\begin{array}{cr} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right)$.
Riešenie. Pre $z=\left(\begin{array}{c} x \\ y\end{array}\right)$ také, že $\|z\|_2=1$, platí $x^2+y^2=1$. Položme $x=\cos t$ a $y=\sin t$. Potom

$$\|Az\|_2=\left\|\left(\begin{array}{cr} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x \\ y\end{array}\right)\right\|_2=\sqrt{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cos2t-\sin2t}$$

Pretože pre funkciu

$$f(t)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cos2t-\sin2t$$

máme

$$f'(t)=-\sin2t-2\cos2t$$

platí

$$f'(t)=0\Leftrightarrow \tan2t=-2$$

V pravouhlom trojuholníku s odvesnami dĺžky 1 a 2 máme uhol $\varphi$, ktorého tangens je rovný číslu 2.

Prepona tohto trojuholníka má dĺžku

$$c=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$$

Potom pre uhol $\varphi$ platí
\begin{align} \sin\varphi&=\frac{2}{\sqrt{5}}\\ \cos\varphi&=\frac{1}{\sqrt{5}}\end{align}
Potom \begin{align}f(t)&=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\cos2t-\frac{2}{\sqrt{5}}\sin2t\right)=\\ &=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(\cos\varphi\cos2t-\sin\varphi\sin2t\right)=\\ &=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\cos(\varphi+2t)\end{align} Odtiaľ

$$\max_{0\leq t<2\pi}f(t)=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Preto  

$$\|A\|=\sqrt{\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}$$