Súčet radu: príklad

The William Lowell Putnam Mathematical Competition 1988
Problem B-4. Dokážte, že ak \sum\limits_{n=1}^\infty a_n je konvergentný číselný rad s kladnými členmi, potom aj rad \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n)^{n/(n+1)} je konvergentný.
Riešenie: Využijeme nerovnosť medzi aritmetickým a geometrickým priemerom.
\begin{align}
a_n^{\frac{n}{n+1}}&=\sqrt[n+1]{\frac1{n+3}\cdot(n+3)a_n\cdot a_n^{n-1}}\leq\\ &\leq\frac{\frac1{n+3}+(n+3)a_n+(n-1)a_n}{n+1}=\\ &=\frac1{(n+1)(n+3)}+2a_n.
\end{align}
Pozrite si aj ďalšie riešenia.