Obor hodnôt

Úloha. Aké hodnoty môže nadobúdať výraz

a\cos t-b\sin t,

ak a, b sú kladné konštanty a t je ľubovoľné reálne číslo?
Riešenie. Stačí si uvedomiť, že existuje taký uhol \varphi, že platí

a\cos t-b\sin t=c\cos(t+\varphi),

kde c je vhodná konštanta. Naozaj,

c\cos(t+\varphi)=c\cos t\cos\varphi-c\sin t\sin\varphi,

odkiaľ a=c\cos\varphi a b=c\sin\varphi. Potom

\frac{b}{a}=\tan\varphi.

Nakreslite si pravouhlý trojuholník, ktorého odvesny majú dĺžky a a b. Potom prepona tohto trojuholníka má dĺžku c=\sqrt{a^2+b^2}. Pretože kosínus môže nadobúdať ľubovoľnú hodnotu z intervalu \langle-1,1\rangle, výraz

a\cos t-b\sin t=c\cos(t+\varphi)

môže nadobúdať ľubovoľnú hodnotu z intervalu \langle-c,c\rangle.