Archívy kategórie: Pre učiteľov

Obor hodnôt

Úloha. Aké hodnoty môže nadobúdať výraz

a\cos t-b\sin t,

ak a, b sú kladné konštanty a t je ľubovoľné reálne číslo?
Riešenie. Stačí si uvedomiť, že existuje taký uhol \varphi, že platí

a\cos t-b\sin t=c\cos(t+\varphi),

kde c je vhodná konštanta. Naozaj,

c\cos(t+\varphi)=c\cos t\cos\varphi-c\sin t\sin\varphi,

odkiaľ a=c\cos\varphi a b=c\sin\varphi. Potom

\frac{b}{a}=\tan\varphi.

Nakreslite si pravouhlý trojuholník, ktorého odvesny majú dĺžky a a b. Potom prepona tohto trojuholníka má dĺžku c=\sqrt{a^2+b^2}. Pretože kosínus môže nadobúdať ľubovoľnú hodnotu z intervalu \langle-1,1\rangle, výraz

a\cos t-b\sin t=c\cos(t+\varphi)

môže nadobúdať ľubovoľnú hodnotu z intervalu \langle-c,c\rangle.

Súčet radu: príklad

The William Lowell Putnam Mathematical Competition 1988
Problem B-4. Dokážte, že ak \sum\limits_{n=1}^\infty a_n je konvergentný číselný rad s kladnými členmi, potom aj rad \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n)^{n/(n+1)} je konvergentný.
Riešenie: Využijeme nerovnosť medzi aritmetickým a geometrickým priemerom.
\begin{align}
a_n^{\frac{n}{n+1}}&=\sqrt[n+1]{\frac1{n+3}\cdot(n+3)a_n\cdot a_n^{n-1}}\leq\\ &\leq\frac{\frac1{n+3}+(n+3)a_n+(n-1)a_n}{n+1}=\\ &=\frac1{(n+1)(n+3)}+2a_n.
\end{align}
Pozrite si aj ďalšie riešenia.